Area på sfär
För de flesta ytor bildar fokalytan två ark, som var och en är en yta och möts vid navelpunkterna. Dessa egenskaper definierar sfären unikt och kan ses i tvålbubblor.: Tvålbubblan täcker en fast volym, och ytspänningen minimerar dess yta för den volymen. De är en generalisering av begreppet rak linje i ett plan. Vi kan dela vilken sfär som helst i två lika delar, som kallas hemisfärer.
Sfären har en konstant bredd och en konstant omkrets. Många andra slutna konvexa ytor har en konstant bredd, till exempel Meissner-kroppen. Han fann att den ortogonala projektionen från cylinderns laterala region på sfären behåller sitt område. För de flesta punkter på de flesta ytor kommer olika sektioner att ha olika krökningar; Deras maximala och minsta värden kallas grundläggande kurvor.
Av alla fasta ämnen som har en given volym är sfären den med den minsta ytan; av alla fasta ämnen som har en given yta har sfären den största volymen. Med andra ord är alla punkter på sfären på samma avstånd från mitten av den fasta punkten. Ytans bredd är avståndet mellan par parallella tangentplan. Omkretsen av en yta är omkretsen av gränsen för dess ortogonala projektion på ett plan.
Den första personen som svarade på frågan om hur man hittar sfärens område var den antika grekiska Archimedes. En sfär är ett speciellt objekt som har det lägsta förhållandet mellan yta och volym bland alla andra inneslutna ytor med en given volym. En sfär är ett tredimensionellt 3D-objekt, vars konturer och plana sektioner är cirklar. Denna egenskap är unik för sfären.
Men hur hittar vi området för en sfär när vi inte har en radie R, men en annan kvantitet som beskriver den sfären? För en given normal sektion finns en krökningscirkel som är lika med sektionens krökning, berör ytan och mittlinjerna som ligger längs den normala linjen. Det är som en cirkel som täcker det största området med en given omkrets jämfört med andra platta former. Förhöjda punkter kan betraktas som punkter där ytan är nära approximerad av en sfär.
För en sfär är böjningarna av alla normala sektioner lika, så varje punkt är navelsträng. Denna egenskap definierar sfären unikt. Följaktligen närmar sig en fritt flytande tvålbubbla sfären, även om yttre krafter som gravitation förvränger bubblans form något. Detta kan också ses på planeter och stjärnor, där gravitationen minimerar ytan för stora himmelkroppar. På stansen är alla sektionens böjningar lika, i synnerhet är huvudkurvaturerna lika.
Om du tittar på bilden nedan kan du se att båda objekten har samma radie R och cylinderns höjd är lika med sfärens diameter d. Ovanstående område av sfärformeln är skrivet i termer av radie. Sfären och planet är de enda ytorna med denna egenskap. om du vill se liknande överväganden för radie, besök sfärkalkylatorns radie. Många andra ytor delar den här egenskapen.
Skärningspunkten mellan planet som innehåller normen med ytan kommer att bilda en kurva som kallas den normala sektionen, och krökningen av denna kurva är den normala krökningen. Ekvationerna som beskriver hemisfärerna liknar de som vi presenterade nedan för hela sfären. Geodeser är kurvor på en yta som ger det kortaste avståndet mellan två punkter.
Nu kan vi försöka härleda de olika ytområdena i de sfäriska formlerna. Var och en av dessa egenskaper innebär en annan. Vad är området för sfärformeln? Utmärkt cirklar för området geodesi. Till exempel kallas de två centra som motsvarar sektionens maximala och minsta krökningar fokuspunkter, och uppsättningen av alla sådana centra bildar en fokal yta.
Om du vill ha mer allmän information om spheres, gå till Sphere Calc! Sfären har inga ytcentrum. Kolla in vårt hemisphere calculator-område för att lära dig mer om det här objektet! Detta följer av den isoperimetriska ojämlikheten. Alla geodetiker i sfären är stängda kurvor. Är du nyfiken på halvklotets egenskaper? Alla punkter i sfären är naveln. Vid vilken punkt som helst på ytan är den normala riktningen vinkelrätt mot ytan, eftersom det på en sfär är linjer som strålar ut från sfärens centrum.
Varje sluten yta kommer att ha minst fyra punkter, kallade navelpunkter.